114學測數學B單選第2題詳解

1. 令 $A$ 的兩欄向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{u},\overset{\large\rightharpoonup}{v}$。因為 $$A\begin{bmatrix}1 & 0\\-1 & 1\end{bmatrix}=[\overset{\large\rightharpoonup}{u}-\overset{\large\rightharpoonup}{v}\;\; \overset{\large\rightharpoonup}{v}],$$ 且已知乘積為 $\begin{bmatrix}4 & -6\\-2 & 1\\3 & 5\end{bmatrix}$，所以 $$\overset{\large\rightharpoonup}{v}=\begin{bmatrix}-6\\1\\5\end{bmatrix},\; \overset{\large\rightharpoonup}{u}-\overset{\large\rightharpoonup}{v}=\begin{bmatrix}4\\-2\\3\end{bmatrix}.$$ 2. 因此 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}=(\overset{\large\rightharpoonup}{u}-\overset{\large\rightharpoonup}{v})+\overset{\large\rightharpoonup}{v}=\begin{bmatrix}4\\-2\\3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-6\\1\\5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2\\-1\\8\end{bmatrix}$。 3. 題目求 $A\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$，即第一欄向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{u}=\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2\\-1\\8\end{bmatrix}$，所以 $a+b+c=-2-1+8=5$。 故選 $(4)$。