86大學聯考數學（社會組）選填第8題詳解

本題頁圖題幹未明列 $b,c$ 為整數；以下依頁圖解析補充的必要條件「$b,c$ 為整數」推導答案 $2$。若不加此條件，僅由四個相異有理根不能唯一決定最大根。 假設四個相異有理根為 $\alpha, \beta, \gamma, \delta$，由根與係數關係得 $$\begin{cases} \alpha \cdot \beta \cdot \gamma \cdot \delta = 10 \\ \alpha + \beta + \gamma + \delta = -3 \end{cases}$$ 在 $b,c$ 為整數的補充條件下，此四根均為整數根，且為 $10$ 的因數 $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$。相乘等於 $10$ 的四個相異因數組合只有 $\{-1, 1, 2, -5\}$ 與 $\{-1, 1, -2, 5\}$。又因為四根之和 $\alpha + \beta + \gamma + \delta = -3$，所以四根必為 $\{-1, 1, 2, -5\}$，可知其中最大根為 $2$。