92學測數學選填第16題詳解

平面通過 $O(0,0,0)$，而 $O$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 的球心，所以交圓 $C$ 是半徑 $1$ 的大圓。 且 $N=(0,0,1)$、$P=(\dfrac{1}{4},\dfrac{\sqrt{11}}{4},-\dfrac{1}{2})$ 皆在單位球上。 向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{ON}$ 與向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$ 的內積為 $$ \overset{\large\rightharpoonup}{ON}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{OP}=(0,0,1)\cdot\left(\dfrac{1}{4},\dfrac{\sqrt{11}}{4},-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{1}{2}。 $$ 因為 $|\overset{\large\rightharpoonup}{ON}|=|\overset{\large\rightharpoonup}{OP}|=1$，所以向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{ON}$ 和向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$ 的夾角為 $$ \arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2\pi}{3}。 $$ 故劣弧所對圓心角為 $\dfrac{2\pi}{3}$，弧長為 $1\cdot\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{2}{3}\pi$，答案為 $\dfrac{2}{3}$。