92學測數學選填第18題詳解

令拱門底部中央為原點，最高點為 $(0,h)$，拋物線設為 $y=h-ax^2$。 底部寬 $6$ 表示 $y=0$ 時 $x=\pm3$，故 $0=h-9a$，所以 $a=\dfrac{h}{9}$。 距底部 $\dfrac{3}{2}$ 公尺高處寬為 $5$，表示 $x=\pm\dfrac{5}{2}$ 時 $y=\dfrac{3}{2}$。 代入得 $$\dfrac{3}{2}=h-\dfrac{h}{9}\cdot\dfrac{25}{4}=\dfrac{11}{36}h，$$ 故 $h=\dfrac{54}{11}$。