98學測數學選填第16題詳解

1. $\Gamma_1$ 為開口向上的拋物線，對稱軸 $x=-\frac{3}{4}$，焦距 $p=\frac{1}{8}$。頂點形式為： $$y=\frac{1}{4p}\!\left(x+\frac{3}{4}\right)^2+k=2\!\left(x+\frac{3}{4}\right)^2+k$$ 其中 $k$ 為頂點的 $y$ 坐標。 2. $\Gamma_1$ 與 $\Gamma_2:y=x^2$ 恰交於一點，聯立得 $x^2=2(x+\frac{3}{4})^2+k$。 3. 展開並整理： \begin{aligned} x^2&=2\!\left(x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}\right)+k\\[4pt] x^2&=2x^2+3x+\frac{9}{8}+k\\[4pt] 0&=x^2+3x+\frac{9}{8}+k \end{aligned} 4. 因為恰有一交點，所以判別式為 $0$： $$3^2-4\times 1\times\!\left(\frac{9}{8}+k\right)=0\;\implies\;9-\frac{9}{2}-4k=0\;\implies\;4k=\frac{9}{2}\;\implies\;k=\frac{9}{8}$$ 故頂點的 $y$ 坐標為 $\frac{9}{8}$。