115分科測驗數學乙選填第12題詳解

1. 從 $1$ 到 $10$ 中取出 $6$ 張卡片，排序後中位數為 第 $3$ 小與第 $4$ 小號碼的平均。 因為中位數為 $5$，所以第 $3$ 小 $+$ 第 $4$ 小 $= 10$。 2. 可能的配對為 $(3,7)$ 與 $(4,6)$ （$(1,9)$ 與 $(2,8)$ 左側卡片數不足，無法使該配對成為第 $3,4$ 小）。 3. 對於 $(3,7)$：第 $3$ 小為 $3$，第 $4$ 小為 $7$。 小於 $3$ 的卡片必須全取（$1,2$），有 $C^2_2=1$ 種取法。 大於 $7$ 的卡片中取 $2$ 張（$8,9,10$），有 $C^3_2=3$ 種取法。 共 $1 \times 3 = 3$ 種。 4. 對於 $(4,6)$：第 $3$ 小為 $4$，第 $4$ 小為 $6$。 小於 $4$ 的卡片中取 $2$ 張（$1,2,3$），有 $C^3_2=3$ 種取法。 大於 $6$ 的卡片中取 $2$ 張（$7,8,9,10$），有 $C^4_2=6$ 種取法。 共 $3 \times 6 = 18$ 種。 5. 因此總組合數為 $3 + 18 = 21$ 種。